Analyse du film par Wikipédia:
Les parents de Katherine Goble apprennent que leur fille possède un don pour les sciences, qu’elle doit parfaire en fréquentant une école pour Noirs dotés d’aptitudes intellectuelles supérieures. En 1962, devenue mathématicienne, elle travaille au sein d’un groupe de calculatrices humaines, sur le campus ouest du Centre de recherche Langley à Hampton en Virginie aux États-Unis, avec deux amies et collègues : l’aspirante ingénieure Mary Jackson et la superviseure d’équipe Dorothy Vaughan. À la suite du lancement réussi de Spoutnik 1, Al Harrison, directeur du Space Task Group, exige encore plus d’efforts de la part des employés sous sa supervision de crainte que les Soviétiques ne mettent en orbite une bombe H pouvant exploser au-dessus du sol américain. Katherine est envoyée dans son groupe pour vérifier les calculs. Elle devient la première Afro-Américaine à participer à ce groupe de recherche. Au début, elle est ignorée de ses collègues blancs et doit travailler sous les ordres de Paul Stafford, un homme croyant en sa supériorité intellectuelle et refusant de reconnaître le travail de Katherine.
De son côté, Dorothy demande à Vivian, sa supérieure blanche, que son travail de superviseure soit officiellement reconnu. Cette demande est rejetée au motif que c’est compliqué. Pour sa part, à la suite d’un échec en soufflerie, Mary propose à l’ingénieur Kazimierz Czarnecki des mesures correctrices. Après quelques semaines de collaboration, ce dernier lui conseille d’étudier pour devenir ingénieure. Elle rejette sa proposition au motif qu’elle est Noire. Il réplique qu’il est Juif polonais, qu’il a échappé aux camps d’extermination nazi et que, pourtant, il travaille à l’élaboration d’une fusée qui ira dans l’espace.
Lors d’une fête familiale, Katherine rencontre le militaire américain Jim Johnson. Les deux sont attirés l’un par l’autre, mais Katherine réagit négativement lorsque Jim doute qu’une femme puisse être une mathématicienne de talent. Plus tard, au centre de calculs, Harrison demande pourquoi Katherine quitte les locaux pendant 40 minutes deux fois par jour. Lorsqu’elle revient, il exprime sa colère et elle réplique qu’elle doit se rendre aux toilettes des Noirs dans un autre bâtiment à un kilomètre de là, qu’elle doit se servir à une cafetière pour gens de couleur et qu’elle ne peut s’acheter un collier de perles à cause de son faible salaire. La même journée, Harrison abolit les toilettes pour personnes de couleur. Quelques jours plus tard, il invite ses subordonnés à résoudre un problème mathématique pour lequel il n’existe aucune équation. Katherine propose une méthode purement numérique conçue par le mathématicien Leonhard Euler deux siècles plus tôt, à l’étonnement de Paul Stafford.
Le centre reçoit la visite des futurs astronautes, dont John Glenn qui salue en personne les calculatrices humaines. Le temps passant, les collègues de Katherine commencent à montrer plus d’ouverture. Malgré l’opposition de Stafford, Harrison accepte qu’elle participe aux réunions de planification des lancements de fusées. Lors de la première réunion, elle démontre son expertise en calculant devant les hommes réunis la position de rentrée d’une capsule spatiale. Cependant, malgré tous ses succès, Stafford refuse de reconnaître l’expertise de Katherine (tous les rapports sont seulement signés de son nom à lui).
De son côté, Mary obtient d’un juge le droit de suivre des cours du soir en ingénierie dans une école exclusivement pour Blancs. Vivian informe Dorothy que les calculatrices humaines seront remplacées par un ordinateur IBM 7090. Dorothy apprend donc le Fortran, qu’elle enseigne aux femmes sous sa supervision. Étant parvenue à faire fonctionner l’ordinateur, ce que les techniciens d’IBM ne parvenaient pas à faire, elle obtient le droit de programmer. Son travail étant jugé essentiel, ses subordonnées sont transférées à la division des calculs informatiques. Plus tard, Vivian félicite Dorothy de ses succès et déclare qu’elle n’a jamais été ségrégationniste, mais Dorothy exprime habilement son doute. Entretemps, Jim Johnson s’excuse auprès de Katherine ; les deux se marieront plus tard dans le film.
Lors des derniers préparatifs du lancement de Friendship qui amènera John Glenn en orbite, Katherine apprend que ses services ne sont plus requis et qu’elle est assignée à l’unité des calculatrices humaines. En guise de cadeau de départ, ses collègues lui ont acheté un collier de perles. Quelques minutes avant le lancement, Stafford observe des divergences dans les calculs informatiques. Glenn exige que Katherine revoie immédiatement les calculs et qu’il partira seulement si elle est d’accord. Katherine calcule à nouveau et rapidement les paramètres, qu’elle remet à Harrison et qui l’invitera à entrer dans la salle de contrôle de la mission.
Après un lancement réussi, la capsule spatiale éprouve des problèmes avec son bouclier thermique. Les hommes au sol décident qu’elle doit rentrer dans l’atmosphère après seulement trois orbites complètes au lieu des sept programmées. Mary travaille de son côté sur les nouveaux paramètres de rentrée orbitale, qui s’avéreront corrects puisque la capsule de Glenn tombera dans l’océan Atlantique à quelques kilomètres d’un navire de guerre américain. Glenn est ensuite fêté comme un héros national.
Mary a entretemps obtenu sa licence en ingénierie. L’épilogue révèle que Katherine calculera les trajectoires des missions du programme Mercury et d’Apollo 11. En 2015, elle reçoit la médaille présidentielle de la Liberté, alors que l’année suivante, la division responsable des calculs du Centre de recherche Langley sera nommée « Katherine G. Johnson Computational Research Facility ». Elle est toujours mariée avec Jim Johnson.
